貝特朗悖論是什麼?得出三種不同結果(但算法正確)

貝特朗曾經在1899年提出了一個悖論就是，假設一個內接圓的等邊三角形中，任意選擇一條弦，那麼這條弦長於等邊三角形邊長的機率有多大?但結果卻並不是唯一的，分別利用三種方法解答出了二分之一、三分之一和四分之一，可以說它們都完全正確但相互矛盾，因此就形成了一個悖論。

貝特朗悖論中並沒有規定弦的位置、方向等，所以一共可以分爲三種情況進行解答，第一種解法是先預設弦的方向，可以做出垂直於這條弦的直徑，而計算出只有交於直徑的四分之一和四分之三處的弦纔是等於邊長的，因此計算出概率爲二分之一。而第二種方法則是預設了弦的一端，只有當弦與這個端點的切線交角爲60-120度的時候才能等邊，而概率就是三分之一。

當然還有第三種解法，也是目前課本中最常用的解法，主要是根據弦的中點來看，只有弦的中心點能夠落在比本圓半徑小一半的同心圓上就能等長，因此這時的概率則只有四分之一。所以三種結果都不相同，但幾乎都沒有計算錯誤，其實也都是因爲它的前提是不同的，在出題的時候，其中“等可能”的詞彙會產生誤導，這其實和芝諾悖論有得一拼。

其實這一悖論就是最初貝特朗用來反思幾何學運算概率學到底是否合適的，其實這一悖論還有另外的一種版本。假設有1、2、3號箱子，其中1號有2根金條，2號有兩根銀條，3號有1根金條1根銀條，打開一個隔間是金條，而打開另一個隔間也是金條的概率有多少?相信一般人都會認爲是二分之一。

但實際上正確答案卻是三分之二，因爲我們可以看到2號箱子中只有銀條，所以可以立即將它排除掉，而只剩下另外的1號和3號是有可能的，所以總的來說應該是三個箱子中有兩個是可能的，所以這也是貝特朗悖論中最爲簡單的一個理解方式。