數學史上的三大危機分別爲無理數理論，微積分理論，羅素悖論，數學史上的三大猜想分別爲費馬大定理，四色定理，哥德巴赫猜想，這三大危機和三大猜想都間接地推動了整個數學理論的進步，許許多多的數學家也因此付出了巨大的貢獻，纔有了今天數學的偉大輝煌。
一、無理數理論
衆所周知，世界上所有的實數都可以分爲有理數和無理數。然而，在最初的時候並沒有發現無理數的存在，所以很多數學家認爲所有數都是有限小數，而希帕蘇斯首先提出了二的算術平方根概念，發現了世界上有一類數，他們是無限不循環小數，然而遭受了當時科學界的否定。
二、微積分理論
微積分是世界數學史上璀璨的輝煌，微積分使用微元的概念，解決了很多不能夠解決的問題。特別對於複雜的圖形，有很厲害的求解作用，但是由於微積分剛提出來的時候，理論非常複雜，沒有在當時的數學界廣爲接受。
三、羅素悖論
羅素悖論是對於集合理論的悖論，世界上所有的物體都能夠通過集合來表達，但是羅素指出，如果一個集合中所有的元素都不是他本來的元素，那麼這樣的一個集合是否還能表現爲原有的集合，這理論被稱爲羅素悖論，後來根據數學家修改集合的定義規則，才避免了這樣的悖論。
四、費馬大定理
費馬大定理有這樣一個猜想當整數n > 2時，關於x,y,z的不定方程 x^n + y^n = z^n 無正整數解。這樣的一個看似簡單的地理，後來經過後世許多人的證明，終於確定費馬大定理成立，是數學史上的一個偉大猜想。
五、四色定理
四色定理表明，如果許多國家圍繞着一個點擁有很多的邊界，那麼只要用四種顏色就能夠將所有的國家全部區分開來，四色定理是對二維空間的終極解釋，也表明了兩個直線，只要相交一定有四個區的出現。
六、哥德巴赫猜想
哥德巴赫猜想，如果把1算做一個質數，那麼世界上任何大於二的數都可以由三個質數通過相加的方式得成，後來科學家們經過艱難的計算，終於算出了哥德巴赫猜想。
